Tips Autovalores
Suponete que trabajamos con matrices de 3x3:1-Siempre fijate si 0 es ava, de ser así :
Multiplicidad doble de 0 y autoespacio de dimensión 2:Suponete que sea generado por v1 y v2. Si es una matriz simétrica, unitaria o hermítica, el otro autoespacio está generado por el ortogonal a esos 2, hace el producto vectorial y sacá el otro ave y vas a ver que el valor de la traza de la matriz va a ser el valor del ava que te faltaba.
Multiplicidad simple de 0:
Suponete que el autoespacio 0 está generado por un solo vector, ahí se te va a complicar más ya que vas a tener estos datos:
λ1+λ2+0=traza
λ1*λ2*0=0
De la primera podés despejar fácil. Proba "crear ceros" en las columnas para sacar los otros, suponete que tenés esta matriz: \begin{bmatrix} 9 & 0 & 7\\ 5 & 2 & 0\\ 7 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} Bueno esta matriz si le restas 2 veces la identidad notás que se te anula la columna del medio, entonces 2 es ava. Vale para cualquier matriz este método.
Si no podés crear ceros, fijate de probar números comunes en la calcu:
det(A-3I), det(A-I), det(A-2I)... si tenés una buena calcu es excelente opción.
Otro tip es que si tenés una matriz simétrica donde la diagonal es todo un mismo número, la suma de las filas es uno de los autovalores: \begin{bmatrix} 1 & 5 & 9\\ 5 & 1 & 3\\ 3 & 9 & 1\\ \end{bmatrix} De esta matriz un ava es 9+1+3 (o sea si las filas suman lo mismo eso es ava y además sacas que un ave asociado a ese ava es el (1 1 1)T
Pero no es exclusivo de las simétricas con igual diagonal (aunque sea uno de los casos), puede ocurrir en otras también, como en esta: \begin{bmatrix} 9 & 2 & 9\\ 9 & 2 & 9\\ 9 & 2 & 9\\ \end{bmatrix}
2- Si cero no es ava:
Con la traza y el determinante te las arreglás bastante bien, acordate que los posibles divisores del determinante de la matriz son posibles autovalores.Por ejemplo, una matriz tiene determinante 4, entonces sus posibles autovalores son +-1,+-2 y +-4.
Sumado a un par de tips que vimos antes, tiene que poder salir en la mayoría de los casos. Conseguite una buena calcu y justificá que det(A-ava_encontrado*I)=0 si encontras un ava de esta forma SIEMPRE.
Trucos parecidos valen para matrices más grandes.